Cara Mencari Luas Panjang Busur, Luas Juring, Dan Tembereng

shares

Kali ini kita akan kupas tuntas materi mengenai bagaiaman cara mencari luas panjang busur, kemuduan juring sampai dengan cara mencari luas tembereng dengan mudah. 

Jika kita gambar tembereng tersebut, pastilah ada busur dan segitiga didalam sebuah lingkaran. sehingga, luas tembereng dapat dirumuskan sebagai berikut:

luas tembereng= luas busur - luas segitiga

untuk mencari luas segitiga, harus dilihat terlebih dahulu apa yang di ketahui. misalkan pada segitiga tersebut yang diketehui adalah 3 sisi, 2 sudut satu sisi, 2 sisi satu sudut, atau 3 sudut. sehingga  cara mencari luas segitigapun berbeda pula.

luas busur dirumuskan dengan:

luas busur= < A/ 360 X phi. r.r

luas segitiga di rumuskan dengan:

I. RUMUS UMUM LUAS SEGITIGA

Segitiga Siku




Dari segitiga siku-siku di atas maka yang dimaksud dengan sisi alas adalah b, tinggi adalah a dan sisi miring adalah c. Maka persamaan dari rumus segitiga di atas adalah :
Dik : 
a = sisi tinggi
b = sisi alas
c = sisi miring
Dit : L (luas segitiga) ?
Maka,
L = 1/2 a b

Ingat rumus luas segitiga di atas hanya berlaku jika segitiga mempunyai sudut siku-siku ( 90 derajat ). Perhatikan bentuk segitiga di atas dan coba amati persamaan rumusnya. 

Jika anda jeli maka anda dapat menarik kesimpulan bahwasanya utntuk mencari luas segitiga siku seperti di atas sama halnya dengan mencari setengah luas dari empat persegi panjang. 

Anggap saja panjang dari empat persegi panjang tersebut adalah b dan lebar adalah a, luas persegi panjang adalah a x b. Karena segitiga tersebut adalah mempunyai luas sebesar setengah kali dari luas persegi panjang maka didapatlah formula 1/2 x alas x tinggi.

II. RUMUS LUAS SEGITIGA SAMA KAKI
Segitiga Sama Kaki
Untuk mencari luas segitiga sama kaki sebenarnya kita menggunakan rumus yang sama dengan rumus luas untuk segitiga siku. 

Hanya saja pada segitiga sama kaki tingginya bukan salah satu sisi segitiga tetapi adalah garis tengah yang membelah kedua kaki segitiga dan tegak lurus terhadap alas. Sehingga segitiga tersebut seperti terbelah dan mendapatkan dua buah segitiga siku. 

Jadi dapat kita simpulkan bahwa rumus luas segitiga sama kaki adalah alas x tinggi. Yang dimaksud dengan alas pada gambar di atas adalah panjang AB. Maka persamaan untuk rumus luas segitiga sama kaki tersebut di atas adalah :

Dik : Segitiga sama kaki ABC
alas = Panjang AB = a
tinggi = panjang garis tegak = t

Dit : L (luas segitiga) ?

Maka,
L = a x t

atau,

L = 2 x (1/2 a x t), rumus ini didapat jika anda mencari luas salah satu segitiga sama kaki yang dibelah. Setelah luas salah satu segitiga didapat maka karena ada dua segitiga yang sama, anda tinggal mengalikan dengan 2.

Untuk mencari tinggi segitiga sama kaki anda dapat menggunakan rumus pitagoras (pythagoras) yakni:

panjang b kuadrat adalah akar dari pengurangan c kuadrat dengan a kuadrat. Dimana a : alas, b : tinggi dan c : sisi miring. Rumus pitagoras ini juga hanya berlaku jika segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

III. RUMUS LUAS SEGITIGA SAMA SISI

Segitiga Sama Sisi


Pada segitiga sama sisi sebenarnya rumus yang digunakan adalah sama saja dengan rumus pada segitiga sama kaki. 

Yaitu kita mencari tinggi terlebih dahulu kemudian baru bisa dicari luasnya. Tetapi sekarang sudah ada beberapa cara cepat yang ditemukan agar tidak banyak menghabiskan waktu mencari tinggi terlebih dahulu. 

Pada kesempatan ini saya tidak akan membahas mengenai cara cepat tersebut, cara cepat untuk mencari luas segitiga sama sisi bisa anda pelajari pada bimbingan belajar-bimbingan belajar yang sekarang sudah banyak di kota-kota besar.

Dari gambar segitiga sama sisi di atas maka dapat ditentukan rumus luasnya adalah :
Dik :
s = sisi ketiga sisi segitiga
t = tinggi
Dit : Luas segitiga /
L = s x tinggi
atau
Rumus cepat segitiga sama sisi
IV. RUMUS LUAS SEGITIGA SEMBARANG
Segitiga Sembarang

Untuk mencari luas segitiga sembarang maka sudah barang tentu akan berbeda dengan rumus yang digunakan pada beberapa jenis segitiga sebelumnya. Ini karena tidak ada sudut siku pada ketiga sudut segitiga. Sehingga kita tidak dapat menentukan tingginya. 

Tapi rumus umum tersebut bisa saja diterapkan dengan kondisi tertentu. Misalnya ada beberapa sisi dan sudut besarnya diketahui serta ditetapkan garis tinggi yang tegak lurus membentuk sudut siku.

Agar anda tidak menghabiskan waktu dalam mencari luas segitiga sembarang, maka anda bisa menggunakan rumus yang telah ditemukan dan dibakukan oleh ahlinya dan rumus segitiga sembarang ini disebut teorama heron. Berikut persamaan dari teorama heron :

Dik :
a, b, c = ketiga sisi segitiga
Dit :
Luas Segitiga ?
Maka,
 




TAMBAHAN CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN LAIN

misal Soal 1
Pada suatu bulat dengan sentra O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga AOB = 35° dan COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:
Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya menyerupai diberikut
Di depan sudah dipelajari kekerabatan antara sudut sentra dan panjang busur diberikut.
CD/AB = COD / AOB
CD /14 cm = 140°/35° 
CD = (140°/35°) x 14 cm
CD = 4  x 14 cm
CD = 56 cm
Jadi panjang busur CD ialah 56 cm

misal Soal 2
Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.
Hitunglah
a. luas juring POQ;
b. jari-jari lingkaran;
c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:
a. untuk mencari luas juring POQ sanggup dipakai persamaaan diberikut ini
Luas AOB/Luas POQ = AOB /POQ
50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°
50 cm2/ Luas POQ = 1,25
Luas POQ = 50 cm2/1,25
Luas POQ = 40 cm2

b. untuk mencari jari-jari bulat sanggup dipakai persamaan:
luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ
πr2 /luas juring POQ = 360°/POQ
πr2/40 cm2 = 360°/60°
πr2/40 cm2 = 6
πr2 = 40 cm2 x 6
πr2 = 240 cm2
r2 = 240 cm2/(22/7)
r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas bulat sanggup dipakai persamaan:
luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB
luas lingkaran/50 cm2  = 360°/75°
luas lingkaran/50 cm2  = 4,8
luas bulat = 4,8 x 50 cm2  
luas bulat = 240 cm2  

atau dengan memakai rumus πr2, maka:
πr2 = (22/7) x (8,74 cm)
πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2
πr2 = 240 cm2

misal Soal 3
Panjang jari-jari sebuah bulat diketahui 20 cm. Hitunglah
a. panjang busur di hadapan sudut 30°;
b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:
a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° ialah AB dan sudut 30° = AOB maka:
panjang AB/keliling bulat = AOB/∠ 1 lingkaran
panjang AB/2πr = AOB/360°
panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°
panjang AB/125,6 cm = 1/12
panjang AB = 125,6 cm/12
panjang AB = 10,5 cm
b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = POQ maka:
luas POQ /luas bulat = POQ/∠ 1 lingkaran
luas POQ /πr245°/360°
luas POQ = (45°/360°) x πr2
luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2
luas POQ = 157 cm2
misal Soal 4
Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.
Penyelesaian:
keliling bulat tersebut ialah
K = 2πr
K = 2 x (22/7) x 28 cm
K = 176 cm
Luas bulat tersebut ialah
L = πr2
L = (22/7) x (28 cm)2
L = 2464 cm2

Sekarang cari sudut POQ
 POQ /∠ 1 bulat = panjang PQ/keliling lingkaran
 POQ /360° = 17,6cm/176 cm
 POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°
 POQ = 36°

luas juring  POQ/Luas Lingkaran =  POQ/∠ 1 lingkaran
luas juring  POQ/2464 cm= 36°/360°
luas juring  POQ = 0,1 x 2464 cm2
luas juring  POQ = 246,4 cm2

misal Soal 5
Hitunglah keliling dan luas bangkit yang diarsir pada gambar diberikut.
Penyelesaian:
a. Pada gambar (a) diketahui AOB = 45°, panjang jari-jari bulat (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih lampau cari panjang AB, maka
panjang AB/keliling bulat = AOB/∠ 1 lingkaran
panjang AB/2πr = AOB/360°
panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°
panjang AB/69,08 cm = 0,125
panjang AB = 69,08 cm x 0,125
panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO
keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm
keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih lampau cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka
luas juring  AOB /Luas Lingkaran =  AOB /∠ 1 lingkaran
luas juring  AOB /πr2 = 45°/360°
luas juring  AOB = 0,125 x πr2
luas juring  AOB 0,125 x 3,14 x (11 cm)2
luas juring  AOB 47,49 cm2

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)
luas juring  COD /Luas Lingkaran =  COD /∠ 1 lingkaran
luas juring  COD/πr2 = 45°/360°
luas juring  COD = 0,125 x πr2
luas juring  COD 0,125 x 3,14 x (6 cm)2
luas juring  COD 14,13 cm2

Luas ABCD = luas juring  AOB 47,49 cm- luas juring  COD 14,13 cm2
Luas ABCD = 47,49 cm14,13 cm2
Luas ABCD = 33,36 cm2

misal Soal 6
Hitunglah luas tembereng pada gambar diberikut kalau jari-jari bulat 14 cm.
penyelesaian:
a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih lampau cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:
luas juring AOB = ¼ luas lingkaran
luas juring AOB = ¼ x πr2
luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm )2
luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2
luas juring AOB = 154 cm2

luas ΔAOB = ½ x ganjal x tinggi
luas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cm
luas ΔAOB = 98 cm2

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB
Luas tembereng = 154 cm– 98 cm2

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih lampau cari luas juring COD dan luas ΔCOD:
luas juring COD/luas bulat =  COD /∠ 1 lingkaran
luas juring COD/ πr2 = 60° /360°
luas juring COD = (60°/360°) x πr2
luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm )2
luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2
luas juring AOB = 102,67 cm2

Karena besar  COD = 60o, maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,
s = ½ x keliling segitiga
s = ½ x (a + b + c)
s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)
s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)
s = 21 cm

luas ΔCOD = (s(s-a)(s-a)(s-a)
luas ΔCOD = (21 (21-14)(21-14)(21-14)
luas ΔCOD = (21 x 7 x 7 x 7)
luas ΔCOD = (21 x 343)
luas ΔCOD = (7203)
luas ΔCOD = 84,87 cm2

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga COD
Luas tembereng = 102,67 cm2– 84,87 cm2
Luas tembereng = 17,80 cm2

misal Soal 7
Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar  POQ = 45°. Hitunglah besar  QOR.
Penyelesaian:
 QOR / POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ
 QOR/45°= 75 cm/50 cm
 QOR/45°= 1,5
 QOR = 1,5 x 45°
 QOR = 67,5°


misal Soal 8
Pada gambar di bawah, besar  POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.
Hitunglah
a. panjang busur besar PQ;
b. luas juring besar POQ.

Penyelesaian:
panjang PQ/keliling bulat = POQ/∠ 1 lingkaran
panjang PQ /2πr = POQ /360°
panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°
panjang PQ /125,6 cm = 0,2
panjang PQ = 125,6 cm x 0,2
panjang PQ = 25,12 cm

luas juring  POQ /Luas Lingkaran =  PQ /∠ 1 lingkaran
luas juring  POQ /πr2 = 72°/360°
luas juring  POQ = 0,2 x πr2
luas juring  POQ 0,2 x 3,14 x (20 cm)2
luas juring  POQ 251,2 cm2